Question

已知f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，且f（1）=3，若a，b∈[-1，1]，a+b≠0时，有f(a)+f(b)a+b＞0成立

已知f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，且f（1）=3，若a，b∈[-1，1]，a+b≠0时，有f(a)+f(b)a+b＞0成立．（1）判断f（x）在[-1，1]上的单调性，并证明；（2）解不等式：f（x+12）＜f(1x?1)；（3）若f（x）≤m2-2am+1对所有的a∈[-1，1]恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

（1）任取x₁，x₂∈[-1，1]，且x₁＜x₂，则-x₂∈[-1，1]，
∵f（x）为奇函数，
∴f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）+f（-x₂）=

f(x1)+f(?x2)

x1?x2

?（x₁-x₂），
由已知得

f(x1)+f(?x2)

x1?x2

＞0，x₁-x₂＜0，∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）．
∴f（x）在[-1，1]上单调递增．
（2）∵f（x）在[-1，1]上单调递增，∴

?1≤x+ 1 2 ≤1 ?1≤ 1 x?1 ≤1 x+ 1 2 ＜ 1 x?1

，解得?

3

2

≤x＜-1，
∴不等式的解集为{x|?

3

2

≤x＜-1}．
（3）∵f（1）=3，f（x）在[-1，1]上单调递增，
∴在[-1，1]上，f（x）≤3，即m²-2am+3≥3，
∴m²-2am≥0对a∈[-1，1]恒成立，求m的取值范围．
设g（a）=-2m?a+m²≥0，
①若m=0，则g（a）=0≥0，自然对a∈[-1，1]恒成立．
②若m≠0，则g（a）为a的一次函数，若g（a）≥0对a∈[-1，1]恒成立，
则必须g（-1）≥0，且g（1）≥0，∴m≤-2或m≥2．
∴m的取值范围是m=0或m≤-2或m≥2．