Question

阅读材料：求1+2+22+23+24+…+22013的值．解：设S=1+2+22+23+24+…+22012+22013，将等式两边同时乘以2得

阅读材料：求1+2+22+23+24+…+22013的值．解：设S=1+2+22+23+24+…+22012+22013，将等式两边同时乘以2得：2S=2+22+23+24+25+…+22013+22014将下式减去上式得2S-S=22014-1即S=22014-1即1+2+22+23+24+…+22013=22014-1请你仿照此法计算：（1）填空：1+2+22+23=______．（2）求1+2+22+23+24+…+210的值．（3）求1+13+（13）2+（13）3+（13）4+…+（13）m的值．（其中n为正整数）

Answer 1

（1）1+2+2²+2³=1+2+4+8=15；
故答案为：15；

（2）设S=1+2+2²+2³+2⁴+…+2¹⁰，
等式两边同时乘以2得，2S=2+2²+2³+2⁴+…+2¹⁰+2¹¹，
两式相减得，S=2¹¹-1，
即1+2+2²+2³+2⁴+…+2¹⁰=2¹¹-1；

（3）设S=1+

1

3

+（

1

3

）²+（

1

3

）³+（

1

3

）⁴+…+（

1

3

）^m，
等式两边同时乘以

1

3

得，

1

3

S=

1

3

+（

1

3

）²+（

1

3

）³+（

1

3

）⁴+…+（

1

3

）^m+1，
两式相减得，

2

3

S=（

1

3

）^m+1-1，
S=

3

2

（

1

3

）^m+1-

3

2

，
即1+

1

3

+（

1

3

）²+（

1

3

）³+（

1

3

）⁴+…+（

1

3

）^m=

3

2

（

1

3

）^m+1-

3

2

．