Question

若二元函数z=f（x，y）在点（x0，y0）的两个偏导数f′x（x0，y0），f′y（x0，y0）都存在，则z=f（x，y）

若二元函数z=f（x，y）在点（x0，y0）的两个偏导数f′x（x0，y0），f′y（x0，y0）都存在，则z=f（x，y）在点（x0，y0）必连续．______（判断对错，正确的证明，否则给出反例）

Answer 1

设f(x，y)＝

xy x2+y2 ，(x，y)≠(0，0) 0 ，(x，y)＝(0，0)

，
由定义可以求出f′_x（0，0）=f′_y（0，0）=0
但

lim x→0

y→0

f（x，y）

令y＝kx

.

 

lim

x→0

kx2

x2(1+k2)

＝

k

1+k2

，极限值与k有关，
故

lim x→0

y→0

f（x，y）不存在，
因而f（x，y）在点（0，0）不连续