Question

已知数列｛an｝满足an+1=2an-1，a1=3.求证：数列｛an-1｝是等比数列;求7数列｛a

已知数列｛an｝满足an+1=2an-1，a1=3.求证：数列｛an-1｝是等比数列;求7数列｛an｝的通项公式和前n 项和Sn.

Answer 1

（1）两边同时减下an-1=2an-1-2=2（an-1-1），得an-1/an-1-1=2.而a1=3，则a1-1=2，不为0，所以{an-1}是等比数列，且p=2.
（2）设bn=an-1,由（1）可知，bn为首项为2，公比为2的等比数列。则bn的通项公式为bn=2^n.

因为an=bn+1，则an的通项公式为an=2^n+1.
且an的Sn可视为bn的Sn加上n。
先求bn的和，Sn=2（1-2^n）/(1-2)=2^(n+1)-2
再求an的和，Sn=2^(n+1)+n-2

Answer 2

因为a(n+1)=2an-1,a1=3
所以a(n+1)-1=2an-1-1=2(an-1)
故数列{an-1}是等比数列，公比是q=2

所以an-1=(a1-1)*q^(n-1)=(3-1)*2^(n-1)=2^n
故an=2^n+1