Question

已知：正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB，DC（或它们的延长线）于点M

已知：正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB，DC（或它们的延长线）于点M，N．（1）当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时（如图1），求证：BM+DN=MN；（2）当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时（如图2），则线段BM，DN和MN之间数量关系是______；（3）当∠MAN绕点A旋转到如图3的位置时，猜想线段BM，DN和MN之间又有怎样的数量关系呢？并对你的猜想加以说明．

Answer 1

（1）证明：如图1，延长CB至E使得BE=DN，连接AE， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=AD，∠D=∠ABC=90°=∠ABE， 在△ADN和△ABE中 ∵ AD=AB ∠D=∠ABE DN=BE ， △ABE≌△ADN（SAS）， ∴∠BAE=∠DAN，AE=AN， ∴∠EAN=∠BAE+∠BAN=∠DAN+∠BAN=90°， ∵∠MAN=45°， ∴∠EAM=∠MAN， ∵在△EAM和△NAM中 AE=AN ∠EAM=∠NAM AM=AM ， ∴△EAM≌△NAM， ∴MN=ME， ∵ME=BM+BE=BM+DN， ∴BM+DN=MN； （2）线段BM，DN和MN之间数量关系是BM+DN=MN，理由如下： 延长CB至E，使得BE=DN，连接AE， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=AD，∠D=∠ABC=90°=∠ABE， 在△ADN和△ABE中， ∵ AD=AB ∠D=∠ABE DN=BE ， ∴△ABE≌△ADN（SAS）， ∴∠BAE=∠DAN，AE=AN， ∴∠EAN=∠BAE+∠BAN=∠DAN+∠BAN=90°， ∵∠MAN=45°， ∴∠EAM=∠MAN， ∵在△EAM和△NAM中 AE=AN ∠EAM=∠NAM AM=AM ， ∴△EAM≌△NAM， ∴MN=ME， ∵ME=BM+BE=BM+DN， ∴BM+DN=MN， 故答案为：BM+DN=MN； （3）DN-BM=MN，理由如下： 如图3，在DC上截取DE=BM，连接AE， 由（1）知△ADE≌△ABM（SAS）， ∴∠DAE=∠BAM，AE=AM， ∴∠EAM=∠BAM+∠BAE=∠DAE+∠BAE=90°， ∵∠MAN=45°， ∴∠EAN=∠MAN． ∵在△MAN和△EAN中， AE=AM ∠MAN=∠EAN AN=AN ， ∴△MAN≌△EAN（SAS）， ∴EN=MN， 即DN-DE=MN， ∴DN-BM=MN．