Question

已知函数 f(x)=cos(2x- π 3 )+si n 2 x-co s 2 x ．（I）求出f（x）的最小正周期及函数f

已知函数 f(x)=cos(2x- π 3 )+si n 2 x-co s 2 x ．（I）求出f（x）的最小正周期及函数f（x）图象的对称中心；（II）设g（x）=f（x+φ），若函数g（x）为偶函数，求满足条件的最小正数φ的值．

Answer 1

（I）由题意可得： f(x)= 1 2 cos2x+ 3 2 sin2x+si n 2 x-co s 2 x = 1 2 cos2x+ 3 2 sin2x-cos2x = sin(2x- π 6 ) ． 所以函数的最小正周期 T= 2π 2 =π ． 令 2x- π 6 =kπ， 即 x= kπ 2 + π 12 （k∈Z）． 所以函数f（x）图象的对称中心是 ( kπ 2 + π 12 ，0) （k∈Z）． （II）f（x+φ）= sin[2(x+φ)- π 6 ] = sin(2x+2φ- π 6 ) ， 因为函数g（x）为偶函数， 所以 2φ- π 6 = π 2 +kπ （k∈Z）． 所以 φ= π 3 + 1 2 kπ （k∈Z）． 则满足条件的最小整数φ的值为 π 3 ．