Question

设函数f（x）=ax3-2bx2+cx+4d（a、b、c、d∈R）图象关于原点对称，且x=1时，f（x）取极小值?23．（1）求a

设函数f（x）=ax3-2bx2+cx+4d（a、b、c、d∈R）图象关于原点对称，且x=1时，f（x）取极小值?23．（1）求a、b、c、d的值；（2）当x∈[-1，1]时，图象上是否存在两点，使得过此两点处的切线互相垂直？试证明你的结论．

Answer 1

解答：解． （1）∵函数f（x）图象关于原点对称，
∴对任意实数x有f（-x）=-f（x），
∴-ax³-2bx²-cx+4d=-ax³+2bx²-cx-4d，
即bx²-2d=0恒成立
∴b=0，d=0，
∴f（x）=ax³+cx，
f'（x）=3ax²+c，
∵x=1时，f（x）取极小值?

2

3

，
∴3a+c=0且a+c=?

2

3

，
解得a=

1

3

，c=-1，
∴f（x）=

1

3

x3-x．
（2）由（1）得f'（x）=x²-1，
当x∈[-1，1]时，f'（x）∈[-1，0]
当且仅当x=0时，f'（x）=-1
故?x₁，x₂∈[-1，0]
f'（x₁）?f'（x₂）≥0恒成立，
即f'（x₁）?f'（x₂）≠-1恒成立，
故当x∈[-1，1]时，图象上不存在两点，使得过此两点处的切线互相垂直