Question

如图，抛物线y=ax2+bx+c 交x轴于A、B两点，交y轴于点C，对称轴为直线x=1，已知：A（-1，0）、C（0，-3）

如图，抛物线y=ax2+bx+c 交x轴于A、B两点，交y轴于点C，对称轴为直线x=1，已知：A（-1，0）、C（0，-3）．（1）求抛物线y=ax2+bx+c 的解析式；（2）求△AOC和△BOC的面积比；（3）若点P在对称轴上，求AP+CP的最小值．

Answer 1

（1）∵对称轴为x=1，且抛物线经过A（-1，0），
∴点B（3，0），
设y=a（x-3）（x+1），把C（0，-3）代入
解得：a=1，
故解析式为：y=x²-2x-3；

（2）依题意，得OA=1，OB=3，
∴S_△AOC：S_△BOC=

1

2

OA?OC：

1

2

OB?OC=OA：OB
=1：3．

（3）如图，连接BC，交对称轴于点P，连接AP
∵点A关于对称轴x=1的对称点是点B（3，0）
∴由几何知识可知，PA+PC=PB+PC为最小．
在RT△BOC中，OC=3，OB=3；
∴BC=

OC2+OB2

=3

2

；
∴AP+CP的最小值为 3

2

．