Question

急！已知函数f(x)=(1+lnx)/x定义域x>=1

1.判断f(x)的单调性.并说明理由. 2.若f(x)>=k/(x+1)恒成立.求实数K的取值范围。哥哥，姐姐们，速度啊！ 速度额！谢谢！

Answer 1

1.求导做
求f(x)的一阶导数f'(x)=-lnx/x^2在定义域x>=1上恒<=0，故f(x)单调递减

2.我们先取x=1，得到k<=2，下面我们证明k<=2时f(x)>=k/(x+1)恒成立
要f(x)>=k/(x+1)恒成立，即要(1+lnx)/x>=k/(x+1)恒成立
即(x+1)(lnx+1)>=kx恒成立
记g(x)=(x+1)(lnx+1)-kx
同理求导g'(x)=2-k+lnx+1/x在x>=1k<=2时恒>=0，所以g(x)递增
故g(x)>=g(1)=2-k>=0，即(x+1)(lnx+1)>=kx恒成立，得证

Answer 2

解：
f(x)=(1+lnx)/x，定义域为{x|x≥1}
（1）求导得：
f′(x)=-（lnx）/（x^2）
∵x≥1
∴在定义域上f′(x)≤0，且f′(x)=0不恒成立，
因此函数f(x)在定义域上单调递减；
（2）f(x)>=k/(x+1）恒成立
即k≤f(x)*(x+1)在定义域上恒成立，
因此，只要求出函数g（x）=f(x)*(x+1）【x∈[1，+∞）】的最小值即可，
对函数g（x）=f(x)*(x+1）【x∈[1，+∞）】求导得：
g′（x)=f′(x)*(x+1)+f(x)=（x-lnx)/(x^2),当x≥1时，显然，x-lnx>0【可以用导数证明】，因此g（x）=f(x)*(x+1）【x∈[1，+∞）】在定义域上单调递增，
∴函数g（x）=f(x)*(x+1）【x∈[1，+∞）】的最小值为g(1)=2
因此，k≤2
所以，若f(x)>=k/(x+1)恒成立.则实数K的取值范围是（-∞，2]

Answer 3

用导数的办法判断单调性。
1. 把已知的f(x)=(1+lnx)/x，定义域x>=1求导：
得出它的导函数f’(x)=1+lnX-1/X^2(X的平方)，带入定义域，可知f'(x)≥0， 可知f(x)是有最小值的，即当f’(x)=0时，即X=1，而f'(x)>0,表示已知的函数是单调递增的，所以可得f(x)≥1.

所以将f(x)≥1带入要求的式子中，得出k≤X+1,而x≥1， 所以k≤2

Answer 4

1.f'(x)=(1-1-lnx)/x^2=-lnx/x^2,x>=1,lnx>=0
f'(x)<0,所以在定义域上f(x)是减函数。
2。因为 x>=1,所以 k<(x+1)(1+lnx)/x
k<1