Question

已知曲线E：ax 2 ＋by 2 ＝1(a>0，b>0)，经过点M 的直线l与曲线E交于点A、B，且 ＝－2 .(1)若点

已知曲线E：ax 2 ＋by 2 ＝1(a>0，b>0)，经过点M 的直线l与曲线E交于点A、B，且 ＝－2 .(1)若点B的坐标为(0，2)，求曲线E的方程；(2)若a＝b＝1，求直线AB的方程．





Answer 1

（1）x 2 ＋ ＝1（2）y＝ x－1.

(1)设A(x 0 ，y 0 )，由已知B(0，2)，M( ，0)，所以 ＝ ， ＝(x 0 － ，y 0 )． 由于 ＝－2 ，所以(－ ，2)＝－2(x 0 － ，y 0 )，所以 即A( ，－1)，将A、B点的坐标代入曲线E的方程，得 解得 所以曲线E的方程为x 2 ＋ ＝1. (2)当a＝b＝1时，曲线E为圆x 2 ＋y 2 ＝1，设A(x 1 ，y 1 )，B(x 2 ，y 2 )．又 ＝－2 ， 所以 ＝－2(x 1 － ，y 1 )， 即有 ＋ ＝1①， ＋ ＝1②，由①×4－②，得(2x 1 ＋x 2 )(2x 1 －x 2 )＝3，所以2x 1 －x 2 ＝ ，解得x 1 ＝ ，x 2 ＝0.由x 1 ＝ ，得y 1 ＝± .当A 时，B(0，－1)，此时k AB ＝－ ，直线AB的方程为y＝－ x＋1； 当A 时，B(0，1)，此时k AB ＝ ，直线AB的方程为y＝ x－1.