Question

已知函数f(x)= x 2 +lnx，（Ⅰ）求函数f(x)在[1，e]上的最大值、最小值；（Ⅱ）求证：在区间[1，+∞)上

已知函数f(x)= x 2 +lnx，（Ⅰ）求函数f(x)在[1，e]上的最大值、最小值；（Ⅱ）求证：在区间[1，+∞)上，函数f(x)的图象在函数g(x)= x 3 图象的下方；（Ⅲ）求证：[f′(x)] n -f′(x n )≥2 n -2（n∈N*）。

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Answer 1

解：（Ⅰ）∵f′(x)= ， ∴当x∈[1，e]时，f′(x)＞0，　 ∴f(x)在[1，e]上是增函数， 故 ， ； （Ⅱ）设 ，则 ， ∵x＞1时，∴F′(x)＜0，故F(x)在[1，+∞)上是减函数， 又 ，故在[1，+∞)上，F(x)＜0，即 ， ∴函数f(x)的图象在函数 的图象的下方。 （Ⅲ）∵x＞0， ∴ ， 当n=1时，不等式显然成立； 当n≥2时，有 ≥ ， ∴[f′(x)] n -f′(x n )≥2 n -2（n∈N*）。