设x轴、y轴正方向上的单位向量分别是i、j，坐标平面上点列An、Bn（n∈N*）分别满足下列两个条件：①OA1＝
设x轴、y轴正方向上的单位向量分别是i、j，坐标平面上点列An、Bn（n∈N*）分别满足下列两个条件：①OA1＝j且AnAn+1＝i+j；②OB1＝3i且BnBn+1＝(...
设x轴、y轴正方向上的单位向量分别是i、j，坐标平面上点列An、Bn（n∈N*）分别满足下列两个条件：①OA1＝j且AnAn+1＝i+j；②OB1＝3i且BnBn+1＝(23)n×3i．（1）求OA2及OA3的坐标，并证明点An在直线y=x+1上；（2）若四边形AnBnBn+1An+1的面积是an，求an（n∈N*）的表达式；（3）对于（2）中的an，是否存在最小的自然数M，对一切n∈N*都有an＜M成立？若存在，求M；若不存在，说明理由．
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（1）
＝
+
＝
+(
+
)＝
+2
＝(1，2)，
+
＝
+2
+(
+
)＝2
+3
＝(2，3)
＝
+
+…+
=
+(n?1)(
+
) ＝(n?1)
+n
=（n-1，n）
所以An（n-1，n），它满足直线方程y=x+1，因此点An在直线y=x+1上．
（2）
＝
+
+…+
=3
+
×3
+ (
) 2×3
+…+(
) n?1×3
=
×3
＝(9?9×(
) n，0)．
设直线y=x+1交x轴于P（-1，0），
则an＝S △PA n+1B n+1?S △PA nB n
=
[10-9×(
) n+1]×（n+1）-
[10-9×(
) n]×n
=5+（n-2）×(
) n?1
（3）an?an+1＝[5+(n?2)×(
)n?1]?[5+(n?1)(
)n]=(
)n?1[(n?2)?(n?1)×(
)]＝
| OA2 |
| OA1 |
| A1A2 |
| j |
| i |
| j |
| i |
| j |
| OA2 |
| A2A3 |
| i |
| j |
| i |
| j |
| i |
| j |
| OA n |
| OA 1 |
| A 1A 2 |
| A n?1A n |
=
| j |
| i |
| j |
| i |
| j |
所以An（n-1，n），它满足直线方程y=x+1，因此点An在直线y=x+1上．
（2）
| OB n |
| OB 1 |
| B 1B 2 |
| B n?1B n |
=3
| i |
| 2 |
| 3 |
| i |
| 2 |
| 3 |
| i |
| 2 |
| 3 |
| i |
=
1?(
| ||
1?
|
| i |
| 2 |
| 3 |
设直线y=x+1交x轴于P（-1，0），
则an＝S △PA n+1B n+1?S △PA nB n
=
| 1 |
| 2 |
| 2 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| 2 |
| 3 |
=5+（n-2）×(
| 2 |
| 3 |
（3）an?an+1＝[5+(n?2)×(
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| n?4 |
| 3 |
