已知函数f（x）=x3+ax2+b，（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是y=x+1，求a，b的值；（
已知函数f（x）=x3+ax2+b，（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是y=x+1，求a，b的值；（Ⅱ）若函数f（x）在区间（0，2）内单调递减．（...
已知函数f（x）=x3+ax2+b，（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是y=x+1，求a，b的值；（Ⅱ）若函数f（x）在区间（0，2）内单调递减．（1）求a的取值集合A； （2）对任意a∈A∩[-7，+∞）和x∈[0，4]，有f（x）＞a2恒成立，求实数b的取值范围．
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（Ⅰ）f′（x）=3x2+2ax，
∴
，即
∴
-----------（4分）
（Ⅱ）（1）要使f（x）在（0，2）内单调递减，则f′（x）≤0在（0，2）内恒成立．
∴3x2+2ax≤0即a≤?
x在（0，2）上恒成立．
∴a≤-3即A=（-∞，-3]------------------------（7分）
（2）∵a∈A∩[-7，+∞）=[-7，-3]
（i）当-7≤a≤-6时，f（x）在[0，4]上单调递减，
∴fmin(x)＝f(4)＝64+16a+b＞a2在a∈[-7，-6]上恒成立，
∴b＞a2-16a-64在a∈[-7，-6]上恒成立∴b＞97------------（10分）
（ii）当-6＜a≤-3时，f（x）在[0，?
]上单调递减，[?
，4]上单调递增．
∴fmin(x)＝f(?
)＞a2在a∈（-6，-3]上恒成立．
即b＞?
∴
|
|
∴
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（Ⅱ）（1）要使f（x）在（0，2）内单调递减，则f′（x）≤0在（0，2）内恒成立．
∴3x2+2ax≤0即a≤?
| 3 |
| 2 |
∴a≤-3即A=（-∞，-3]------------------------（7分）
（2）∵a∈A∩[-7，+∞）=[-7，-3]
（i）当-7≤a≤-6时，f（x）在[0，4]上单调递减，
∴fmin(x)＝f(4)＝64+16a+b＞a2在a∈[-7，-6]上恒成立，
∴b＞a2-16a-64在a∈[-7，-6]上恒成立∴b＞97------------（10分）
（ii）当-6＜a≤-3时，f（x）在[0，?
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∴fmin(x)＝f(?
| 2a |
| 3 |
即b＞?
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