Question

（2007?昌平区一模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=1，AC=2，把边长分别为x1，x2，x3，…，xn的n个正

（2007?昌平区一模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=1，AC=2，把边长分别为x1，x2，x3，…，xn的n个正方形依次放入△ABC中：第一个正方形CM1P1N1的顶点分别放在Rt△ABC的各边上；第二个正方形M1M2P2N2的顶点分别放在Rt△AP1M1的各边上，…，其他正方形依次放入．则第三个正方形的边长x3为827827，第n个正方形的边长xn=2n3n2n3n（n为正整数）．

Answer 1

∵边长分别为x₁，x₂，x₃，…，x_n的n个正方形，
∴BC∥P₁M₁∥P₂M₂…
∴△ABC∽△AP₁M₁∽△AP₂M₂…
∴x₁：BC=x₂：PP₁M₁=x₃：P₂M₂…，
又∵在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=1，AC=2，
∴BN₁=0.5x₁，AM₁=2-x₁
∴x₁=

2

3

∴x₃=1×(

2

3

)3=

8

27

，
∴x_n=1×(

2

3

)n=(

2

3

)n．
故答案是：

8

27

，(

2

3

)n．