Question

已知a是给定的实常数．设函数f(x)=(x-a) 2 (x+b)e x ，b∈R，x=a是f(x)的一个极大值点，(Ⅰ)求b的取值范

已知a是给定的实常数．设函数f(x)=(x-a) 2 (x+b)e x ，b∈R，x=a是f(x)的一个极大值点，(Ⅰ)求b的取值范围； (Ⅱ)设x 1 ，x 2 ，x 3 是f(x)的3个极值点，问是否存在实数b，可找到x 4 ∈R，使得x 1 ，x 2 ，x 3 ，x 4 的某种排列 (其中{i 1 ，i 2 ，i 3 ，i 4 }={1，2，3，4})依次成等差数列？若存在，求所有的b及相应的x 4 ；若不存在，说明理由．

Answer 1

解：(Ⅰ) ， 令 ， 则 ， 于是可设x 1 ，x 2 是g(x)=0的两实根，且x 1 ＜x 2 ， ①当x 1 =a或x 2 =a时，则x=a不是f(x)的极值点，此时不合题意； ②当x 1 ≠a且x 2 ≠a时，由于x=a是f(x)的极大值点，故x 1 ＜a＜x 2 ，即g(a)＜0， 即a 2 +(3-a+b)a+2b-ab-a＜0，所以b＜-a， 所以b的取值范围是(-∞，-a）． (Ⅱ)由(Ⅰ)可知，假设存在b及x 4 满足题意， 则①当 时，则 ， 于是 ， 即 ， 此时， 或 ； ②当 时，则 或 ， （ⅰ）若 ，则 ， 于是 ， 即 ， 于是 ， 此时 ； （ⅱ）若 ，则 ， 于是 ， 即 ， 于是 ， 此时 ； 综上所述，存在b满足题意； 当b=-a-3时， ； 当 时， ； 当 时， 。