Question

（2013?烟台）如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，连接AC交⊙O于点D，E为AD上一点，连结AE，BE，BE交AC

（2013?烟台）如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，连接AC交⊙O于点D，E为AD上一点，连结AE，BE，BE交AC于点F，且AE2=EF?EB．（1）求证：CB=CF；（2）若点E到弦AD的距离为1，cos∠C=35，求⊙O的半径．





Answer 1

（1）证明：如图1，
∵AE²=EF?EB，
∴

AE

EB

=

EF

AE

．
又∵∠AEF=∠AEB，
∴△AEF∽△AEB，
∴∠1=∠EAB．
∵∠1=∠2，∠3=∠EAB，
∴∠2=∠3，
∴CB=CF；

（2）解：如图2，连接OE交AC于点G，设⊙O的半径是r．
由（1）知，△AEF∽△AEB，则∠4=∠5．
∴

AE

=

ED

．
∴OE⊥AD，
∴EG=1．
∵cos∠C=

3

5

，且∠C+∠GAO=90°，
∴sin∠GAO=

3

5

，
∴

OG

OA

=

3

5

，即

r?1

r

=

3

5

，
解得，r=

5

2

，即⊙O的半径是

5

2

．