Question

已知函数f（x）=lnx-ax（a∈R）．（Ⅰ） 求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ） 当a＞0时，求函数f（x）在[1，2

已知函数f（x）=lnx-ax（a∈R）．（Ⅰ） 求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ） 当a＞0时，求函数f（x）在[1，2]上最小值．

Answer 1

（Ⅰ）函数的定义域是（0，+∞）
∵f（x）=lnx-ax
∴f′（x）=

1

x

-a
当a≤0时，f′（x）＞0，函数在定义域上是增函数；
当a＞0时，令导数为0解得x=

1

a

，
当x＞

1

a

时，导数为负，函数在（

1

a

，+∞）上是减函数，
当x＜

1

a

时，导数为正，函数在（0，

1

a

）上是增函数
（Ⅱ）由（Ⅰ）的结论知
当[1，2]?[

1

a

，+∞）时，即a≥1时，函数函数f（x）在[1，2]上是减函数，故最小值为f（2）=ln2-2a
当[1，2]?（0，

1

a

]时，即0＜a＜

1

2

时，函数函数f（x）在[1，2]上是增函数，故最小值为f（1）=-a
当

1

a

∈[1，2]时，函数f（x）在[1，

1

a

]上是增函数，在[

1

a

，2]上是减函数，故最小值为min{f（1），f（2）}