Question

（2014?东阳市二模）如图，在四棱锥P-ABCD中，E为AD的中点，F为PC的中点，PE⊥平面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD

（2014?东阳市二模）如图，在四棱锥P-ABCD中，E为AD的中点，F为PC的中点，PE⊥平面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，且BC=CD=12AD=1．（Ⅰ）求证：PA⊥平面BEF；（Ⅱ）若PE=3AE，求直线EF和平面PDC所成角的正弦值．

Answer 1

（1）证明：连结AC，交BE于点M，连结FM，
由题意得

AM

MC

＝

AE

BC

＝

PF

FC

＝1，
∴PA∥FM，
又∵FM?平面BEF，PA?面BEF，
∴PA∥面BEF．
（2）解：由题意得CD⊥平面PAD，
∴面PDC⊥面PAD，
过点E，作EH⊥PD，连结FH，
则有EH⊥平面PDC，
∴∠EFH为直线EF和平面PDC所成角，
∵BC=CD=

1

2

AD=1，∴EH=

3

2

，EF=

5

2

，
∴sin∠EFH=

EH

EF

=

15

5

．
∴直线EF和平面PDC所成角的正弦值为

15

5

．