已知函数f（x）=lnx-ax2-bx（a，b∈R，且a≠0）．（1）当b=2时，若函数f（x）存在单调递减区间，求a的取
已知函数f（x）=lnx-ax2-bx（a，b∈R，且a≠0）．（1）当b=2时，若函数f（x）存在单调递减区间，求a的取值范围；（2）当a＞0且2a+b=1时，讨论函数...
已知函数f（x）=lnx-ax2-bx（a，b∈R，且a≠0）．（1）当b=2时，若函数f（x）存在单调递减区间，求a的取值范围；（2）当a＞0且2a+b=1时，讨论函数f（x）的零点个数．
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（1）当b=2时，函数f（x）=lnx-ax2-2x，其定义域是(0，
+∞)，
∴f′(x)＝
?2ax?2＝?
．
∵函数f（x）存在单调递减区间，
∴f′(x)＝?
≤0在x∈(0，
+∞)的一个子区间上恒成立．
∴关于x的不等式2ax2+2x-1≥0在x∈(0，
+∞)的一个子区间上恒成立．
则关于x的不等式2a≥
＝(
?1)2?1在x∈(0，
+∞)一个子区间上成立，
∴2a＞-1，即a＞?
，而a≠0．
∴a的取值范围为(?
，
0)∪(0，
+∞)．
（2）当b=1-2a时，函数f（x）=lnx-ax2-（1-2a）x，其定义域是(0，
+∞)，
∴f′(x)＝
?2ax?(1?2a)＝?
．
令f′（x）=0，得
＝0，即2ax2+（1-2a）x-1=0，（x-1）（2ax+1）=0，
∵x＞0，a＞0，则2ax+1＞0，
∴x=1
当0＜x＜1时，f′（x）＞0；当x＞1时，f′（x）＜0．
∴函数f（x）在区间(0，
1)上单调递增，在区间（1，+∞）上单调递减．
∴当x=1时，函数f（x）取得最大值，其值为f（1）=ln1-a-b=-a-1+2a=a-1．
①当a=1时，f（1）=0，若x≠1，则f（x）＜f（1），即f（x）＜0．
此时，函数f（x）与x轴只有一个交点，故函数f（x）只有一个零点；
②当a＞1时，f（1）＞0，
又f(
)＝ln
∴f′(x)＝
| 1 |
| x |
| 2ax2+2x?1 |
| x |
∵函数f（x）存在单调递减区间，
∴f′(x)＝?
| 2ax2+2x?1 |
| x |
∴关于x的不等式2ax2+2x-1≥0在x∈(0，
则关于x的不等式2a≥
| 1?2x |
| x2 |
| 1 |
| x |
∴2a＞-1，即a＞?
| 1 |
| 2 |
∴a的取值范围为(?
| 1 |
| 2 |
（2）当b=1-2a时，函数f（x）=lnx-ax2-（1-2a）x，其定义域是(0，
∴f′(x)＝
| 1 |
| x |
| 2ax2+(1?2a)x?1 |
| x |
令f′（x）=0，得
| 2ax2+(1?2a)x?1 |
| x |
∵x＞0，a＞0，则2ax+1＞0，
∴x=1
当0＜x＜1时，f′（x）＞0；当x＞1时，f′（x）＜0．
∴函数f（x）在区间(0，
∴当x=1时，函数f（x）取得最大值，其值为f（1）=ln1-a-b=-a-1+2a=a-1．
①当a=1时，f（1）=0，若x≠1，则f（x）＜f（1），即f（x）＜0．
此时，函数f（x）与x轴只有一个交点，故函数f（x）只有一个零点；
②当a＞1时，f（1）＞0，
又f(
| 1 |
| ea |
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