Question

设函数f（x）的定义域为D，如果?x∈D，?y∈D，使得f（x）=-f（y）成立，则称函数f（x）为“Ω函数”．给

设函数f（x）的定义域为D，如果?x∈D，?y∈D，使得f（x）=-f（y）成立，则称函数f（x）为“Ω函数”．给出下列四个函数：①y=sinx；②y=2x；③y=1x?1；④f（x）=lnx，则其中“Ω函数”共有（　　）A．1个B．2个C．3个D．4个

Answer 1

若?x∈D，?y∈D，使得f（x）=-f（y）成立，
即等价为?x∈D，?y∈D，使得f（x）+f（y）=0成立．
A．函数的定义域为R，∵y=sinx是奇函数，
∴f（-x）=-f（x），即f（x）+f（-x）=0，∴当y=-x时，等式（x）+f（y）=0成立，∴A为“Ω函数”．
B．∵f（x）=2^x＞0，∴2^x+2^y＞0，则等式（x）+f（y）=0不成立，∴B不是“Ω函数”．
C．函数的定义域为{x|x≠1}，由（x）+f（y）=0得

1

x?1

+

1

y?1

＝0，即

x+y?2

(x?1)(y?1)

＝0，
∴x+y-2=0，即y=2-x，当x≠1时，y≠1，∴当y=2-x时，等式（x）+f（y）=0成立，∴C为“Ω函数”．
D．函数的定义域为（0，+∞），由（x）+f（y）=0得lnx+lny=ln（xy）=0，即xy=1，即当y=

1

x

时，等式（x）+f（y）=0成立，∴D为“Ω函数”．
综上满足条件的函数是A，C，D，共3个，
故选：C