Question

已知A，B是椭圆C：x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)的左，右顶点，B（2，0），过椭圆C的右焦点F的直线交椭圆于点M，

已知A，B是椭圆C：x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)的左，右顶点，B（2，0），过椭圆C的右焦点F的直线交椭圆于点M，N，交直线x=4于点P，且直线PA，PF，PB的斜率成等差数列，R和Q是椭圆上的两动点，R和Q的横坐标之和为2，RQ的中垂线交X轴于T点（1）求椭圆C的方程；（2）求△MNT的面积的最大值．

Answer 1

（1）由题设知a=2，b=

3

椭圆C的方程

x2

4

+

y2

3

＝1
（2）由点差法知PQ的中垂线交x轴于T(

1

4

，0)
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），直线MN：x=my+1与椭圆联立可得（3m²+4）y²+6my-9=0|y1?y2|2＝

36m2

(3m2+4)2

+

36

3m2+4

＝144

m2+1

(3m2+4)2

令t=m²+1≥1，则|y1?y2|2＝144

t

(3t+1)2

＝144

1

9t+ 1 t +6

≤9
故Smax＝

1

2

×

3

4

×3＝

9

8