Question

在△ABC中，已知角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a2+b2?c2＝3ab．（1）求角C的大小；（2）如果0＜A≤2π

在△ABC中，已知角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a2+b2?c2＝3ab．（1）求角C的大小；（2）如果0＜A≤2π3，m＝2cos2A2?sinB?1，求实数m的取值范围．

Answer 1

（1）∵在△ABC中，a²-c²+b²=

3

ab，
∴根据余弦定理，得cosC=

a2+b2?c2

2ab

=

3 ab

2ab

=

3

2

．
又∵C是三角形的内角，可得0＜C＜π，
∴C=

π

6

；
（2）∵cos²

A

2

=

1

2

(1+cosA)，sinB=sin（π-B）=sin（A+C），C=

π

6

，
∴m＝2cos2

A

2

?sinB?1=cosA?sin(A+C)＝cosA?sin(A+

π

6

)
=cosA?(sinAcos

π

6

+cosAsin

π

6

)＝cosA?

3

2

sinA?

1

2

cosA
=

1

2

cosA?

3

2

sinA＝cosAcos

π

3

?sinAsin

π

3

＝cos(A+

π

3

)．
∵0＜A≤

2π

3

，
可得

π

3

＜A+

π

3

≤π．
∴?1≤cos(A+

π

3

)＜

1

2

，
即m的取值范围是[?1，

1

2

)．