如图，将含30°角的直角三角板ABC（∠A=30°）绕其直角顶点C顺时针旋转α角（0°＜α＜90°），得到Rt△A
如图，将含30°角的直角三角板ABC（∠A=30°）绕其直角顶点C顺时针旋转α角（0°＜α＜90°），得到Rt△A′B′C，A′C与AB交于点D，过点D作DE∥A′B′交...
如图，将含30°角的直角三角板ABC（∠A=30°）绕其直角顶点C顺时针旋转α角（0°＜α＜90°），得到Rt△A′B′C，A′C与AB交于点D，过点D作DE∥A′B′交CB′于点E，连接BE．易知，在旋转过程中，△BDE为直角三角形．设BC=1，AD=x，△BDE的面积为S．（1）当α=30°时，求x的值．（2）求S与x的函数关系式，并写出x的取值范围；（3）以点E为圆心，BE为半径作⊙E，当S=14S△ABC时，判断⊙E与A′C的位置关系，并求相应的tanα值．
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解答：
解：（1）∵∠A=a=30°，
又∵∠ACB=90°，
∴∠ABC=∠BCD=60°．
∴AD=BD=BC=1．
∴x=1；
（2）∵∠DBE=90°，∠ABC=60°，
∴∠A=∠CBE=30°．
∴AC=
BC=
，AB=2BC=2．
由旋转性质可知：AC=A′C，BC=B′C，
∠ACD=∠BCE，
∴△ADC∽△BEC，
∴
=
，
∴BE=
x．
∵BD=2-x，
∴s=
×
x（2-x）=-
x2+
x．（0＜x＜2）
（3）∵s=
s△ABC
∴-
x2+
x=
，
∴4x2-8x+3=0，
∴x1＝
，x2＝
．
①当x=
时，BD=2-
=
，BE=
×
=
．
∴DE=
=
．
∵DE∥A′B′，
∴∠EDC=∠A′=∠A=30°．
∴EC=
DE=
＞BE，
∴此时⊙E与A′C相离．
过D作DF⊥AC于F，则DF＝
x＝
，AF＝
DF＝
解：（1）∵∠A=a=30°，又∵∠ACB=90°，
∴∠ABC=∠BCD=60°．
∴AD=BD=BC=1．
∴x=1；
（2）∵∠DBE=90°，∠ABC=60°，
∴∠A=∠CBE=30°．
∴AC=
| 3 |
| 3 |
由旋转性质可知：AC=A′C，BC=B′C，
∠ACD=∠BCE，
∴△ADC∽△BEC，
∴
| AD |
| BE |
| AC |
| BC |
∴BE=
| ||
| 3 |
∵BD=2-x，
∴s=
| 1 |
| 2 |
| ||
| 3 |
| ||
| 6 |
| ||
| 3 |
（3）∵s=
| 1 |
| 4 |
∴-
| ||
| 6 |
| ||
| 3 |
| ||
| 8 |
∴4x2-8x+3=0，
∴x1＝
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
①当x=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| ||
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| ||
| 6 |
∴DE=
| BD2+BE2 |
| 1 |
| 3 |
| 21 |
∵DE∥A′B′，
∴∠EDC=∠A′=∠A=30°．
∴EC=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 6 |
| 21 |
∴此时⊙E与A′C相离．
过D作DF⊥AC于F，则DF＝| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 4 |
| 3 |
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