Question

在△ABC中，AB=AC=8，∠BAC=120°，取一把含30°角的三角板，把30°角的顶点放在BC上一点D处，三角板绕点

在△ABC中，AB=AC=8，∠BAC=120°，取一把含30°角的三角板，把30°角的顶点放在BC上一点D处，三角板绕点D旋转．（1）当三角板的两边分别交边AB、AC于点E、F时，求证：△BDE∽△CFD．（2）当三角板的两边分别交边AB、边CA的延长线于点E、F时，上述结论还成立吗？（直接回答，无需证明）（3）当D点的位置是BC的中点时，连接E，F，△BDE与△DFE是否相似？并予以证明．（4）若三角板的一边过点A（E与A重合），另一边与AC交于F，设BD=x，AF=y，求y关于x的函数解析式．

Answer 1

解答：（1）证明：∵AB=AC=8，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=30°
∴∠BDE+∠BED=150°，
∵∠EDF=30°，
∴∠BDE+∠CDF=150°，
∴∠BED=∠CDF，
∴△BDE∽△CFD；

（2）解：△BDE与△CFD相似，理由如下：
∵AB=AC=8，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=30°，
∴∠BDE+∠BED=150°，
∵∠EDF=30°，
∴∠BDE+∠CDF=150°，
∴∠BED=∠CDF，
∴△BDE∽△CFD；

（3）△BDE与△DFE相似，理由如下：
∵△BDE∽△CFD，
∴

BE

CD

＝

DE

FD

，
∵BD=CD，
∴

BE

BD

＝

DE

FD

，
∴

BE

DE

＝

BD

FD

，
又∵∠B=∠FDC=30°，
∴△BDE∽△DFE；

（4）由（1）可知△ABD∽△DFC，
∴

AB

DC

＝

BD

CF

，
∵AB=AC=8，
∴BC=8

3

，
∵BD=x，AF=y，
∴CD=8

3

-x，CF=8-y，
∴

8

8 3 ?x

＝

x

8?y

，
∴y=

1

8

x²-

3

x+8．