Question

在△ABC中，sinBa＜sinAb是A＞B成立的（　　）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充分必要条件D．既

在△ABC中，sinBa＜sinAb是A＞B成立的（　　）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件

Answer 1

由题设条件

sinB

a

＜

sinA

b

可得到bsinB＜asinA，即sin²B＜sin²A
又A，B是三角形的内角，故sinA＞0，sinB＞0
∴sinB＜sinA
充分性：若A，B都是锐解，sinB＜sinA可得出B＜A
   若A是钝角，由于A＜π-B，故sinA＞sin（π-B）=sinB，符合条件，此时有sinB＜sinA可得出B＜A
　 若B是钝角，由于B＜π-A，故sinB＞sin（π-A）=sinA，不符合条件，
综上在△ABC中，

sinB

a

＜

sinA

b

是A＞B成立的充分条件
必要性：若90°≥A＞B，显然有sinB＜sinA
若A＞90°＞B，则必有90°＞π-A＞B，故有sin（π-A）＞sinB，即sinB＜sinA
综上△ABC中，A＞B是

sinB

a

＜

sinA

b

成立的充分条件
综上，在△ABC中，

sinB

a

＜

sinA

b

是A＞B成立的充分必要条件，
故选C