Question

已知函数f(x)=x^2-3

过点A（2，t），存在与曲线y=x[f(x)-9]相切的3条切线，求实数t的取值范围

Answer 1

原题是 :已知函数f(x)=x^2-3,过点A(2,t)存在与曲线y=x[f(x)-9]相切的3条切线,求实数t的取值范围.

解:y=x[f(x)-9]=x[x^2-3-9]=x^3-12x
即 y=x^3-12x

设过A的曲线的切线的切点P(a,a^3-12a)
y‘=3x^2-12, 在P处切线斜率k=3a^2-12
切线方程: y-(a^3-12a)=(3a^2-12)(x-a)
它过A(2,t)得 t-(a^3-12a)=(3a^2-12)(2-a)
整理得:2a^3-6a^2+24+t=0

设g(a)=2a^3-6a^2+24+t
则t可取的充要条件是 :函数g(a)有3个零点。

g'(a)=6a^2-12a^2=6a(a-2)
可得g(a)有两个极值点a=0和a=2

g(0)=t+24,g(2)=t+16
三次函数g(a)有3个零点的充要条件是 :
g(0)g(2)<0 即 (t+24)(t+16)<0

解得-24<t<-16

所以 t的取值范围-24<t<-16

较难的问题.希望对你有点帮助！