Question

一个复高斯分布的随机变量的模的平方服从什么分布？

一个服从均值为0，方差为N的复高斯随机变量，其模的平方服从什么分布？论文上说是指数分布，不太懂，希望老师给予帮助，谢谢！

老师，刚才您回复我说是参数为2的卡方分布，就是说自由度为2，那么就是两个随机变量的平方和，我现在只有一个随机变量，为什么参数会是2呢？

Answer 1

为了方便，先假设方差 N=1。
一个复高斯分布，X+iY。由于你没加任何条件，所以我一般认为：X和Y相互独立，且都是一维高斯分布。它们的模的平方是：
Z = X^2 + Y^2
是两个相互独立的标准正态分布的平方和。
根据卡方分布的定义，它是参数为2的卡方分布：χ^2(2)
参数为2的卡方分布，就是参数为 1/2 的指数分布，其概率密度函数是：(1/2) * exp(-z/2)

如果复高斯分布的 X 和 Y 的方差为 N，
那么最后是参数为 1/2N 的指数分布：(1/2N) * exp(-z/2N)

追问

好像有点眉目了，老师怪我没有理解清楚复高斯分布，想当然地把其和高斯分布混为一谈了，是不是如果有X和Y两个独立且服从高斯分布的随机变量，那么随机变量Z=X+iY就是服从复高斯分布？

追答

是的。如果X和Y是两个独立的服从高斯分布的随机变量，那么X+iY就是复高斯分布。
一般来讲，复高斯分布是这样：(X,Y)是二维高斯分布，那么X+iY是复高斯分布。但我想你说的X和Y是相互独立的，因为你给的方差是一个数N。如果不是独立的，一般来讲，应该给一个2x2的协方差矩阵。当X和Y独立时，协方差矩阵是：
[N 0
0 N]

BTW：我前些日子还回答过一个题，跟这个有关，你可以参考一下。
http://zhidao.baidu.com/question/2052901777961833067.html
实际上，我就是把你说的复随机变量看成了一个由复数表示的二维平面上点的坐标。