Question

如图，在△ABC中，∠C＝90º，AC＝6cm，BC＝8cm，D、E分别是AC、AB的中点，连接DE．点P从点D出发，沿

如图，在△ABC中，∠C＝90º，AC＝6cm，BC＝8cm，D、E分别是AC、AB的中点，连接DE．点P从点D出发，沿DE方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为2cm/s，当点P停止运动时，点Q也停止运动．连接PQ，设运动时间为t(0＜t＜4)s．解答下列问题： (1)当t为何值时，PQ⊥AB？(2)当点Q在B、E之间运动时，设五边形PQBCD的面积为ycm 2 ，求y与t之间的函数关系式；(3)在(2)的情况下，是否存在某一时刻t，使得PQ分四边形BCDE所成的两部分的面积之比为 ＝1∶29？若存在，求出此时t的值以及点E到PQ的距离h；若不存在，请说明理由．

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Answer 1

（1） （2）y （3）当 时，h

解：（1）如图， 在Rt△ABC中，AC=6，BC=8， ∴ 。 ∵点D、E分别是AC、AB的中点， ∴AD=DC=3，AE=EB=5，DE∥BC，且DE= BC=4。 ∵PQ⊥AB，∴∠PQB=∠C=90 0 。 又∵DE∥BC，∴∠AED=∠B。 ∴△PQE∽△ABC。∴ 。 由题意，得PE=4－t，QE=2t－5， ∴ ，解得 。 ∴当 时，PQ⊥AB。 （2）过点P作PM⊥AB于点M。 由△PME∽△ABC，得 ， ∴ ，即 。 ∴ ，  。 ∴ 。 （3）假设存在时刻t使 ＝1∶29，此时， ， ∴ ，即 。 解得 （舍去）。 当 时，PM= ，ME= ，EQ=5－2×2=1， MQ=ME＋EQ= ， 。 ∵ ，∴ 。 当 时， PQ分四边形BCDE所成的两部分的面积之比为 ＝1∶29，此时点E到PQ的距离h 。 （1）由△PQE∽△ABC可列式求解。 （2）由△PME∽△ABC可求得 ，根据 可求关系式。 （3）假设存在，由已知 ＝1∶29可得 ，即可求出 ，进一步由 求出 。