Question

如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC=12，BD=16，E为AD中点，点P在 轴上移动.小明同学写出了

如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC=12，BD=16，E为AD中点，点P在 轴上移动.小明同学写出了两个使△POE为等腰三角形的P点坐标（ ， ）和（ ， ）.请你写出其余所有符合这个条件的P点坐标 .

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Answer 1

（ ， ）和（ ， ）

试题分析：由在菱形ABCD中，AC=12，BD=16，E为AD中点，根据菱形的性质与直角三角形的性质，易求得OE的长，然后分别从①当OP= OE时，②当OE=PE时，③当OP=EP时去分析求解即可求得答案． ∵四边形ABCD是菱形，AC=12，BD=16， ∴AC⊥BD，OA= AC=6，OD= BD=8， ∴在Rt△AOD中， ∵E为AD中点， ∴OE= AD=5， ①当OP=OE时，P点坐标（-5，0）和（5，0）； ②当OE=PE时，此时点P与D点重合，即P点坐标为（8，0）； ③如图，当OP=EP时，过点E作EK⊥BD于K，作OE的垂直平分线PF，交OE于点F，交x轴于点P， ∴EK∥OA， ∴EK：OA=ED：AD=1：2， ∴EK= OA=3， ∴ ∵∠PFO=∠EKO=90°，∠POF=∠EOK， ∴△POF∽△EOK， ∴OP：OE=OF：OK， 即OP：5= ：4， 解得 ， ∴P点坐标为（ ，0）． ∴其余所有符合这个条件的P点坐标为：（8，0）或（ ，0）． 点评：解答本题的关键是熟练掌握菱形的对角线互相垂直平分，注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用．