Question

已知：如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点， 过C点的切线与AB的延长线交于点D，CE∥AB交⊙O于点E ，连结A

已知：如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点， 过C点的切线与AB的延长线交于点D，CE∥AB交⊙O于点E ，连结AC、BC、AE。（1）求证：①∠DCB=∠CAB； ②CD·CE=CB·CA；（2）作CG⊥AB于点G。若 （k＞1），求 的值（用含k的式子表示）。





Answer 1

（1）证明：①如图1， 解法一：作直径CF，连结BF ∴ ∠CBF=90°， 则 ∠CAB=∠F =90°-∠1 ∵ CD切⊙O于C， ∴ OC⊥CD ， 则 ∠BCD =90°-∠1 ∴ ∠BCD =∠CAB 解法二：如图2，连结OC ∵ AB是直径， ∴ ∠ACB=90° 则∠2 =90°-∠OCB ∵ CD切⊙O于C， ∴ OC⊥CD 则 ∠BCD =90°-∠OCB ∴ ∠BCD =∠2 ∵ OA=OC， ∴ ∠2 =∠CAB ∴ ∠BCD =∠CAB  ② ∵ EC∥AB ，∠BCD =∠3， ∴ ∠4 =∠3=∠BCD ∵ ∠CBD+∠ABC=180°， ∵ ∠AEC+∠ABC=180°， ∴ ∠CBD=∠AEC ∴ △ACE∽△DCB ∴ ∴ （2）连结EB，交CG于点H， ∵ CG⊥AB于点G， ∠ACB=90° ∴ ∠3=∠BCG ∵ ∠3 =∠4 ∴ ∴ ∠3=∠EBG ∴ ∠BCG=∠EBG ∵ （k＞1）， ∴ 在Rt△HGB中， 在Rt△BCG中， 设HG =a，则BG= ka，CG= k 2 a。CH=CG-HG=（k 2 -1）a ∵ EC∥AB ， ∴ △ECH∽△BGH ∴ 解法二： 如图3， 作直径FC，连结FB、EF，则∠CEF=90° ∵CG⊥AB于点G， 在Rt△ACG中， 设CG =a，则AG= ka， ，CF=AB=AG+BF=（ ）a ∵ EC∥AB ， ∠CEF=90°， ∴直径AB⊥EF ∴EF=2CG= a EC= ∴ 解法三：如图4， 作EP⊥AB于点P， 在Rt△ACG中， 设CG =a，则AG= ka， ， 可证△AEP≌△BCG， 则有 EC=AG-AP= ∴ 。