Question

如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠CAB的角平分线AD交BC于点D，过点D作DE⊥AD，交AB于点E．以AE为直径作⊙O．

如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠CAB的角平分线AD交BC于点D，过点D作DE⊥AD，交AB于点E．以AE为直径作⊙O．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若AE=6，AC=245，求△ADB的面积．

Answer 1

（1）证明：连接OD，如图．
∵AE为⊙O的直径，
∴∠ADE=90°，
∴D点在⊙O上．
∴OD=OA，
∴∠ADO=∠DAO．
又∵∠CAB的角平分线AD交BC于点D，
∴∠CAD=∠DAO，
∴∠CAD=∠ADO，
∴AC∥OD，而∠C=90°．
∴∠ODC=90°．
所以BC是⊙O的切线；

（2）解：由已知和（1）得：OD=OE=

1

2

AE=3，
又AC∥OD（已证），
∴△ABC∽△OBD，
设BE=x，
则有

x+OE

x+AE

=

OD

AC

，即

x+3

x+6

=

3

24 5

，
得：x=2，即BE=2，
∴OB=BE+OE=2+3=5，
在直角三角形OBD中，由勾股定理得：
BD=

OB2?OD2

=

52?32

=4，
所以△ADB的面积为

1

2

BD?AC=

1

2

×4×

24

5

=

48

5

．