Question

如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，点D在棱BC上，AD⊥C1D，（1）设点M是棱BB1的中点，求证：平面AMC1⊥平面A

如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，点D在棱BC上，AD⊥C1D，（1）设点M是棱BB1的中点，求证：平面AMC1⊥平面AA1C1C；（2）设点E是B1C1的中点，过A1E作平面α交平面ADC1于l，求证：A1E∥l．

Answer 1

解：（1）∵正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，M是棱BB₁的中点，
∴AB=A₁B₁=B₁C₁，BM=B₁M，∠ABM=∠C₁B₁M，
∴AM=C₁M．
∴△AMC₁是等腰三角形．
取AC₁的中点O，CC₁的中点M，连接MO，OP，MP，
则MO⊥AC₁，OP⊥CC₁，MP⊥CC₁，
∴CC₁⊥平面OPM，
∵OM?平面OPM，∴CC₁⊥OM．
∵CC₁∩AC₁=C₁，
∴OM⊥平面AA₁C₁C，
∵OM?平面AMC₁，∴平面AMC₁⊥平面AA₁C₁C．
（2）∵在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，M是棱BB₁的中点，E是B₁C₁的中点，
∴AD∥A₁E，
∵AD?平面ADC₁，A₁E?平面ADC₁，
∴A₁E∥平面ADC₁，
∵过A₁E作平面α交平面ADC₁于l，
∴A₁E∥l．