Question

如图所示，已知P（4，0）是圆x2+y2=36内的一点，A、B是圆上两动点，且满足∠APB=90°，求矩形APBQ的顶点Q

如图所示，已知P（4，0）是圆x2+y2=36内的一点，A、B是圆上两动点，且满足∠APB=90°，求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程．

Answer 1

设AB的中点为R，则R也是PQ的中点，设R的坐标为（x₁，y₁），则在Rt△ABP中，|AR|=|PR|．
又因为R是弦AB的中点，依垂径定理：在Rt△OAR中，|AR|²=|AO|²-|OR|²=36-（x12 +y12）．
又|AR|=|PR|=

(x1?4)2+y12

，所以有（x₁-4）²+y12=36-（x12 +y12），即 x12 +y12-4x₁-10=0．
因此点R在一个圆上，而当R在此圆上运动时，Q点即在所求的轨迹上运动．
设Q（x，y），因为R是PQ的中点，所以x₁=

x+4

2

，y1＝

y+0

2

，
代入方程 x12 +y12-4x₁-10=0，得(

x+4

2

)2+(

y

2

)2?4?

x+4

2

-10=0，
整理得：x²+y²=56，这就是所求的Q点的轨迹方程．