Question

（2014?丹东）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的⊙O与AC边交于点D，过点D的直线交BC边于点E，∠

（2014?丹东）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的⊙O与AC边交于点D，过点D的直线交BC边于点E，∠BDE=∠A．（1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由．（2）若⊙O的半径R=5，tanA=34，求线段CD的长．

Answer 1

（1）直线DE与⊙O相切．
理由如下：连接OD．
∵OA=OD
∴∠ODA=∠A
又∵∠BDE=∠A
∴∠ODA=∠BDE
∵AB是⊙O直径
∴∠ADB=90°
即∠ODA+∠ODB=90°
∴∠BDE+∠ODB=90°
∴∠ODE=90°
∴OD⊥DE
∴DE与⊙O相切；

（2）∵R=5，
∴AB=10，
在Rt△ABC中
∵tanA=

BC

AB

=

3

4

∴BC=AB?tanA=10×

3

4

=

15

2

，
∴AC=

AB2+BC2

＝

102+( 15 2 )2

＝

25

2

，
∵∠BDC=∠ABC=90°，∠BCD=∠ACB
∴△BCD∽△ACB
∴

CD

CB

＝

CB

CA

∴CD＝

CB2

CA

＝

( 15 2 )2

25 2

＝

9

2

．