Question

在Rt△ABC中，AB=AC=2，∠A=90°，现取一块等腰直角三角板，将45°角的顶点放在斜边BC的中点O处，三角板

在Rt△ABC中，AB=AC=2，∠A=90°，现取一块等腰直角三角板，将45°角的顶点放在斜边BC的中点O处，三角板的直角边与线段AB、AC分别交于点E、点F，设BE=x，CF=y，∠BOE=α（45°≤α≤90°）．（1）试求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围．（2）试判断∠BEO与∠OEF的大小关系？并说明理由．（3）在三角板绕O点旋转的过程中，△OEF能否成为等腰三角形？若能，求出对应x的值；若不能，请说明理由．

Answer 1

（1）解：∵∠EOC=∠B+∠BEO，∠B=∠EOF=45°，
∴∠BEO=∠FOC=135°-α，
又∵∠B=∠C=45°，
∴△BEO∽△COF（AA），
∴

BE

CO

＝

BO

CF

，
在Rt△ABC中，∵AB=AC=2，∠A=90°，点O是BC的中点，
∴BO=CO=

1

2

BC=

2

，
又CF=y，BE=x，
∴y=

2

x

（1≤x≤2）；

（2）∠BEO=∠OEF．
理由如下：由（1）得：△BEO∽△COF，
∴

BE

CO

＝

OE

OF

，
又∵CO=OB，
∴

BE

OB

＝

OE

OF

，
又∠B=∠EOF=45°，
∴△BEO∽△OEF，
∴∠BEO=∠OEF；

（3）△OEF能成为等腰三角形．
①当EO=EF时，即点F与点A重合时，此时x=1，△OEF是等腰三角形．
②当EF∥BC时，EO=FO，此时x=y，由y＝

2

x

可得：x＝

2

（舍负），△OEF是等腰三角形．
③当FE=FO时，即α=90°，点E与点A重合时，此时x=2，△OEF是等腰三角形．

Answer 2

（1）∵∠a=30°，∠acb=90°，
d是ab的中点．
∴bc=bd，
∠b=60°
∴△bcd是等边三角形．
又∵cn⊥db，
∴
∵∠edf=90°，△bcd是等边三角形．
∴∠adg=30°，
而∠a=30°．
∴ga=gd．
∵gm⊥ab
∴
又∵ad=db
∴am=dn
；
（2）∵df∥ac
∴∠1=∠a=30°，∠agd=∠gdh=90°，
∴∠adg=60°．
∵∠b=60°，ad=db，
∴△adg≌△dbh
∴ag=dh，
又∵∠1=∠a，gm⊥ab，hn⊥ab，
∴△amg≌△dnh．
∴am=dn
．