Question

已知函数f（x）=log2（x+1），当点 （x，y） 是函数y=f （x） 图象上的点时，点(x3， y2)是函数y=g（x）

已知函数f（x）=log2（x+1），当点 （x，y） 是函数y=f （x） 图象上的点时，点(x3， y2)是函数y=g（x） 图象上的点．（1）写出函数y=g （x） 的表达式；（2）当g（x）-f （x）≥0时，求x的取值范围；（3）当x在 （2）所给范围内取值时，求g（x）-f（x）的最大值．

Answer 1

（1）令X=

x

3

，Y=

y

2

，
∴x=3X，y=2Y，
∵点 （x，y） 是函数y=f （x） 图象上，
∴2Y=log₂（3X+1），
即Y=

1

2

log₂（3X+1），
∴g （x）=

1

2

log₂（3x+1）（x＞-

1

3

）；
（2）由g（x）-f （x）≥0，得

1

2

log₂（3x+1）-log₂（x+1）≥0，
∴

3x+1＞0 x+1＞0 3x+1≥(x+1)2

，
解得0≤x≤1；
∴x的取值范围为0≤x≤1；
（3）∵因为0≤x≤1，
所以 g(x)?f(x)＝

1

2

log2

3x+1

(x+1)2

＝

1

2

log2

9

(3x+1)+ 4 3x+1 +4

≤

1

2

log2

9

8

．
当且仅当3x+1=2时，即 x=

1

3

时等号成立，
故g（x）-f（x）在[0，1]上的最大值为

1

2

log2

9

8

=log₂3-

3

2

．