Question

已知点F1、F2为双曲线C：x2-y2b2=1的左、右焦点，过F2作垂直于x轴的直线，在x轴上方交双曲线C于点M，∠MF

已知点F1、F2为双曲线C：x2-y2b2=1的左、右焦点，过F2作垂直于x轴的直线，在x轴上方交双曲线C于点M，∠MF1F2=30°．（1）求双曲线C的方程；（2）过双曲线C上任意一点P作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为P1、P2，求PP1?PP2的值．

Answer 1

（1）设F₂，M的坐标分别为(

1+b2

，0)，(

1+b2

，y0)，
因为点M在双曲线C上，所以1+b2?

y02

b2

＝1，即y0＝±b2，所以|MF2|＝b2，
在Rt△MF₂F₁中，∠MF₁F₂=30°，|MF2|＝b2，所以|MF1|＝2b2…（3分）
由双曲线的定义可知：|MF1|?|MF2|＝b2＝2
故双曲线C的方程为：x2?

y2

2

＝1…（6分）
（2）由条件可知：两条渐近线分别为l1：

2

x?y＝0；l2：

2

x+y＝0…（8分）
设双曲线C上的点Q（x₀，y₀），设两渐近线的夹角为θ，
则点Q到两条渐近线的距离分别为|PP1|＝

| 2 x0?y0|

3

，|PP2|＝

| 2 x0+y0|

3

，…（11分）
因为Q（x₀，y₀）在双曲线C：x2?

y2

2

＝1上，
所以2x02?y02＝2，又cosθ＝

1

3

，
所以

PP1

?

PP2

=

| 2 x0?y0|

3

?

| 2 x0+y0|

3

cosθ＝

|2x02?y02|

3

?

1

3

＝

2

9

…（14分）