Question

如图，直线y=-x+3与x轴、y轴分别相交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线y=ax2+bx+c与x轴的另一个交点为A，

如图，直线y=-x+3与x轴、y轴分别相交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线y=ax2+bx+c与x轴的另一个交点为A，顶点为P，且对称轴是直线x=2．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）若点R在（1）中抛物线的对称轴上，且使得△RAC的周长最小，求点R的坐标；（3）该Q为（1）中抛物线对称轴上一点，在抛物线上是否存在这样一点M，使得以A、B、Q、M为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）令y=0，则-x+3=0，
解得x=3，
令x=0，则y=3，
所以，B（3，0），C（0，3），
∵抛物线对称轴是直线x=2，
∴点A的坐标为（1，0），
∴

a+b+c＝0 9a+3b+c＝0 c＝3

，
解得

a＝1 b＝?4 c＝3

，
所以，抛物线的解析式为y=x²-4x+3；

（2）由轴对称确定最短路线可知，对称轴与BC的交点即为使得△RAC的周长最小的点R，
易求直线BC的解析式为y=-x+3，
x=2时，y=-2+3=1，
所以，点R的坐标为（2，1）；

（3）∵A（1，0），B（3，0），
∴AB=3-1=2，
∵以A、B、Q、M为顶点的四边形是平行四边形，
∴QM=AB=2，
①当点M在对称轴左侧时，点M的横坐标为2-2=0，
所以，点M与点C重合，坐标为（0，3）；
②点M在对称轴右侧时，点M的横坐标为2+2=4，
代入抛物线解析式得，y=4²-4×4+3=3，
所以，点M的坐标为（4，3）；
③当AB为对角线时，点M与P重合此时M点的坐标为M（2，-1）．
综上所述，点M的坐标为（0，3）或（4，3）或（2，-1）时，以A、B、Q、M为顶点的四边形是平行四边形．