如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，将△ABC绕点C逆时针旋转角α．（0°＜α＜90°）得到△A1B1C1，连
如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，将△ABC绕点C逆时针旋转角α．（0°＜α＜90°）得到△A1B1C1，连接BB1．设CB1交AB于D，AlB1分别交...
如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，将△ABC绕点C逆时针旋转角α．（0°＜α＜90°）得到△A1B1C1，连接BB1．设CB1交AB于D，AlB1分别交AB、AC于E、F．（1）在图中不再添加其它任何线段的情况下，请你找出一对全等的三角形，并加以证明（△ABC与△A1B1C1全等除外）；（2）当△BB1D是等腰三角形时，求α；（3）当α=60°时，求BD的长．
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（1）全等的三角形有：△CBD≌△CA1F或△AEF≌△B1ED或△ACD≌△B1CF等；
以证△CBD≌△CA1F为例：
证明：∵∠ACB1+∠A1CF=∠ACB1+∠BCD=90°
∴∠A1CF=∠BCD
∵A1C=BC
∴∠A1=∠CBD=45°
∴△CBD≌△CA1F；
（2）在△CBB1中
∵CB=CB1
∴∠CBB1=∠CB1B=
（180°-α）
又△ABC是等腰直角三角形
∴∠ABC=45°
①若B1B=B1D，则∠B1DB=∠B1BD
∵∠B1DB=45°+α
∠B1BD=∠CBB1-45°=
（180°-α）-45°=45°-
∴45°+α=45°-
，
∴α=0°（舍去）；
②∵∠BB1C=∠B1BC＞∠B1BD，∴BD＞B1D，即BD≠B1D；
③若BB1=BD，则∠BDB1=∠BB1D，即45°+α=
（180°-α），α=30°
由①②③可知，当△BB1D为等腰三角形时，α=30°；
（3）作DG⊥BC于G，设CG=x．
在Rt△CDG中，∠DCG=α=60°，
∴DG=xtan60°=
x
Rt△DGB中，∠DBG=45°，
∴BG=GD=
x，
∵AC=BC=1，
∴x+
x=1
∴x=
＝
(
?1)，
∴DB=
以证△CBD≌△CA1F为例：
证明：∵∠ACB1+∠A1CF=∠ACB1+∠BCD=90°
∴∠A1CF=∠BCD
∵A1C=BC
∴∠A1=∠CBD=45°
∴△CBD≌△CA1F；
（2）在△CBB1中
∵CB=CB1
∴∠CBB1=∠CB1B=
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又△ABC是等腰直角三角形
∴∠ABC=45°
①若B1B=B1D，则∠B1DB=∠B1BD
∵∠B1DB=45°+α
∠B1BD=∠CBB1-45°=
| 1 |
| 2 |
| α |
| 2 |
∴45°+α=45°-
| α |
| 2 |
∴α=0°（舍去）；
②∵∠BB1C=∠B1BC＞∠B1BD，∴BD＞B1D，即BD≠B1D；
③若BB1=BD，则∠BDB1=∠BB1D，即45°+α=
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由①②③可知，当△BB1D为等腰三角形时，α=30°；
（3）作DG⊥BC于G，设CG=x．
在Rt△CDG中，∠DCG=α=60°，
∴DG=xtan60°=
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Rt△DGB中，∠DBG=45°，
∴BG=GD=
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∵AC=BC=1，
∴x+
| 3 |
∴x=
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1+
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| 1 |
| 2 |
| 3 |
∴DB=
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