Question

如图，在等腰三角形ABC中，∠ABC=90°，D为AC边上中点，过D点作DE⊥DF，交AB于E，交BC于F，若AE=4，FC=3

如图，在等腰三角形ABC中，∠ABC=90°，D为AC边上中点，过D点作DE⊥DF，交AB于E，交BC于F，若AE=4，FC=3，求EF长。

Answer 1

解：（1）连接BD． ∵等腰直角三角形ABC中，D为AC边上中点， ∴BD⊥AC，BD=CD=AD，∠ABD=45°， ∴∠C=45°， ∴∠ABD=∠C． ∵DE丄DF， ∴∠FDC+∠BDF=∠EDB+∠BDF， ∴∠FDC=∠EDB．在△EDB与△FDC中， ∴△EDB≌△FDC（ASA）， ∴DE=DF； （2）∵△EDB≌△FDC， ∴BE=FC=3， ∴AB=AE+BE=4+3=7，则BC=AB=7， ∴BF=BC-CF=7-3=4．在Rt△EBF中， ∵∠EBF=90°， ∴EF 2 =BE 2 +BF 2 =3 2 +4 2 ， ∴EF=5．故线段EF的长为5．