Question

如图，直线y=-x+1与x轴交于点A，与y轴交于点B，P（a，b）为双曲线 y= 1 2x (x＞0) 上的一点，PM

如图，直线y=-x+1与x轴交于点A，与y轴交于点B，P（a，b）为双曲线 y= 1 2x (x＞0) 上的一点，PM⊥x轴于M，交AB于E，PN⊥y轴于N，交AB于F．（1）当点P的坐标为（ 3 4 ， 2 3 ）时，求E、F两点的坐标及△EOF的面积；（2）用含a，b的代数式表示E、F两点的坐标及△EOF的面积；（3）求BE?AF的值．

Answer 1

（1）∵点P的坐标为（ 3 4 ， 2 3 ） 而PM⊥x轴，PN⊥y轴， ∴E点的横坐标为 3 4 ，F点的纵坐标为 2 3 ， ∵点E、F在直线y=-x+1上， 当x= 3 4 时，y=- 3 4 +1= 1 4 ， 当y= 2 3 时， 2 3 =-x+1，则x= 1 3 ， ∴E、F两点的坐标分别为（ 3 4 ， 1 4 ）、（ 1 3 ， 2 3 ）； ∵A点坐标为（1，0），B点坐标为（0，1）， ∴S △OAB = 1 2 ×1×1= 1 2 ， ∴S △EOF =S △OAB -S △OBF -S △OAE = 1 2 - 1 2 ×1× 1 3 - 1 2 ×1× 1 4 = 5 24 ； （2）∵点P的坐标为（a，b），0＜a≤1，且b= 1 2a ， 而PM⊥x轴，PN⊥y轴， ∴E点的横坐标为a，F点的纵坐标为b， ∵点E、F在直线y=-x+1上， ∴当x=a时，y=-a+1， 当y=b时，b=-x+1，则x=-b+1， ∴E、F两点的坐标分别为（a，-a+1）、（-b+1，b）； S △EOF =S △OAB -S △OBF -S △OAE = 1 2 - 1 2 ×1×（-b+1）- 1 2 ×1×（-a+1）= 1 2 （a+b-1）； （3）作EG⊥y轴于G，FH⊥x轴于H点，如图， ∵OA=OB=1， ∴△OAB为等腰直角三角形， ∴△GEB、△FHA都为等腰直角三角形， ∴BE= 2 GE，AF= 2 FH， 而E、F两点的坐标分别为（a，-a+1）、（-b+1，b），ab=1， ∴BE= 2 a，AF= 2 b， ∴BE?AF=2ab=2× 1 2 =1．