Question

如图，抛物线y=-x2+2x+3与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点为D．（1）直接写

如图，抛物线y=-x2+2x+3与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点为D．（1）直接写出A、B、C三点的坐标和抛物线的对称轴；（2）连结BC，与抛物线的对称轴交于点E，点P为线段BC上的一个动点，过点P作PF∥DE交抛物线于点F，设点P的横坐标为m．①用含m的代数式表示线段PF的长，并求出当m为何值时，四边形PEDF为平行四边形？②设△BCF的面积为S，求S与m的函数关系．（3）在以上条件下，四边形PEDF可能是等腰梯形吗？如果可能，直接写出m的值；如果不可能，请说明理由．

Answer 1

解：（1）令y=0，则-x²+2x+3=-（x+1）（x-3）=0，
解得，x=-1或x=3，则A（-1，0），B（3，0）．
所以，对称轴是x=

3?1

2

=1．
令x=0，则y=0，则C（0，3）．
综上所述，A（-1，0），B（3，0），C（0，3），抛物线的对称轴是x=1；

（2）①设直线BC的函数关系式为：y=kx+b（k≠0）．
把B（3，0），C（0，3）分别代入得：

3k+b＝0  b＝3

，
解得：k=-1，b=3．
所以直线BC的函数关系式为：y=-x+3．
当x=1时，y=-1+3=2，
∴E（1，2）．
当x=m时，y=-m+3，
∴P（m，-m+3）．
在y=-x²+2x+3中，当x=1时，y=4．
∴D（1，4）
当x=m时，y=-m²+2m+3，
∴F（m，-m²+2m+3）
∴线段DE=4-2=2，
线段PF=-m²+2m+3-（-m+3）=-m²+3m
∵PF∥DE，
∴当PF=ED时，四边形PEDF为平行四边形．
由-m²+3m=2，解得：m₁=2，m₂=1（不合题意，舍去）．
因此，当m=2时，四边形PEDF为平行四边形．
②设直线PF与x轴交于点M，由B（3，0），O（0，0），可得：OB=OM+MB=3．
S＝S△BCF＝S△BPF+S△CPF＝

1

2

FP?OM+

1

2

FP?BM=

1

2

(?m2+3m)×3＝?

3

2

m2+

9

2

m．
m的变化范围是0≤m≤3．

（3）如图③，如果四边形PEDF是等腰梯形，那么DG=EH，因此y_D-y_F=y_P-y_E．
于是4-（-m²+2m+3）=（-m+3）-2．
解得m₁=0（与点CE重合，舍去），m₂=1（与点E重合，舍去）．
因此四边形PEDF不可能成为等腰梯形．