Question

如图1，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线l经过点A，分别过点B，C作直线l的垂线，垂足分别为D，E，求证：

如图1，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线l经过点A，分别过点B，C作直线l的垂线，垂足分别为D，E，求证：DE=BD+CE；（1）将直线l绕点A逆时针旋转到直线l与BC相交，且∠BAD＜45°（如图2）时，其它条件不变，请你探索DE，BD，CE之间的数量关系，并证明之；（2）继续旋转，使45°＜∠BAE＜90°（如图3），其它条件不变，此时（1）中的结论还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，DE，BD，CE之间又怎样的数量关系？（不需证明）．

Answer 1

证明：如图1，∵BD⊥l，CE⊥l，
∴∠BDA=∠CEA=90°，
∴∠ABD+∠DAB=90°．
∵∠BAC=90°，
∴∠DAB+∠CAE=90°，
∴∠ABD=∠CAE．
在△ABD和△CAE中

∠BDA＝∠CEA ∠ABD＝∠CAE AB＝CA

，
∴△ABD≌△CAE（AAS），
∴AD=CE，BD=AE．
∵DE=AD+AE，
∴DE=CE+BD；
（1）DE=CE-BD
理由：如图2，∵BD⊥l，CE⊥l，
∴∠BDA=∠CEA=90°，
∴∠ABD+∠DAB=90°．
∵∠BAC=90°，
∴∠DAB+∠CAE=90°，
∴∠ABD=∠CAE．
在△ABD和△CAE中

∠BDA＝∠CEA ∠ABD＝∠CAE AB＝CA

，
∴△ABD≌△CAE（AAS），
∴AD=CE，BD=AE
∵DE=AD-AE，
∴DE=CE-BD；
（2）DE=BD-CE．
理由：如图3，∵BD⊥l，CE⊥l，
∴∠BDA=∠CEA=90°，
∴∠ABD+∠DAB=90°．
∵∠BAC=90°，
∴∠DAB+∠CAE=90°，
∴∠ABD=∠CAE．
在△ABD和△CAE中

∠BDA＝∠CEA ∠ABD＝∠CAE AB＝CA

，
∴△ABD≌△CAE（AAS），
∴AD=CE，BD=AE
∵DE=AE-AD，
∴DE=BD-CE．