Question

（2013?大丰市一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB边上的一点，以BD为直径的⊙O与边AC相切于点E

（2013?大丰市一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB边上的一点，以BD为直径的⊙O与边AC相切于点E，连接DE并延长，与BC的延长线交于点F．（1）求证：DE=FE；（2）若BC=3，AD=2，求BF的长．

Answer 1

（1）证明：连接OE，BE．
∵∠ACB=90°，AC是⊙O的切线，
∴BC⊥AC，OE⊥AC，
∴OE∥BC；
∵DO=OB，
∴OE是△DBF的中位线，
∴E是DF的中点，
∴DE=EF；

（2）解：∵OE∥BC，
∴Rt△ABC∽Rt△AOE，
∴

OE

BC

=

AO

AB

；
设⊙O的半径是r，则有

r

3

＝

2+r

2+2r

，
解得r=2，∴BD=4；
∵OD=OE（⊙O的半径），
∴∠ODE=∠OED（等边对等角）；
由（1）知OE∥BC，
∴∠OED=∠BFD（两直线平行，同位角相等），
∴∠BDF=∠BFD（等量代换），
∴BF=BD=4（等角对等边）．