Question

已知等差数列{an}的首项a1=1，公差d＞0，且第二项、第五项、第十四项成等比数列．（1）求数列{an}的通项

已知等差数列{an}的首项a1=1，公差d＞0，且第二项、第五项、第十四项成等比数列．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn=1n(an+3) （n∈N*），求数列{bn}的前n项和Sn（3）在第（2）问的前提下，是否存在最大的整数t，使得对任意的n均有Sn＞t36总成立？若存在，求出t；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）∵a₂=1+d，a₅=1+4d，a₁₄=1+13d
∴（1+4d）²=（1+d）（1+13d）
∵d＞0
∴d=2
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1；
（2）b_n=

1

n(an+3)

=

1

2

（

1

n

-

1

n+1

），
∴S_n=

1

2

（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

）=

1

2

（1-

1

n+1

）=

n

2n+2

；
（3）S_n＞

t

36

，即

n

2n+2

＞

t

36

，
∴

1

2

≥

t

36

，
∴t≤18，
∴最大的整数t为18．