Question

在三棱锥S-ABC中，侧棱SA，SB，SC两两垂直，且SA=a，SB=b，SC=c，现有下列命题：①△ABC一定为锐角三角形

在三棱锥S-ABC中，侧棱SA，SB，SC两两垂直，且SA=a，SB=b，SC=c，现有下列命题：①△ABC一定为锐角三角形；②该三棱锥的每组对棱分别互相垂直；③该三棱锥的外接球的半径为a2+b2+c2；④顶点S在平面ABC内的射影一定为△ABC的重心．其中真命题有______（填上你认为的真命题的序号）

Answer 1

①∵SA⊥SB，SA⊥SC，
∴SA⊥平面SBC，BC?平面SBC．∴SA⊥BC．
而AD是SA在平面ABC上的射影，∴AD⊥BC．
同理可证AB⊥CF，AC⊥BE，故O为△ABC的垂心，故①②正确，④错误．
③以SA，SB，SC为棱构造长方体，则长方体的体对角线为三棱锥的外接球的直径，
则2r=

a2+b2+c2

，即外接圆的半径r=

1

2

a2+b2+c2

，故③错误．
故正确的命题为①②，
故答案为：①②