已知函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),对定义域内任意的x、y都有f(xy)=f(x)+f(y),当x
已知函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),对定义域内任意的x、y都有f(xy)=f(x)+f(y),当x>1时,f(x)>0且f(2)=1(1)判断f(x)奇...
已知函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),对定义域内任意的x、y都有f(xy)=f(x)+f(y),当x>1时,f(x)>0且f(2)=1(1)判断f(x)奇偶性,并证明你的结论;(2)求证:f(x)在(0,+∞)上是增函数;(3)解不等式:f(x2-1)<3.
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(1)f(x)是偶函数,证明如下:
由题意知,f(xy)=f(x)+f(y)
令x=y=1得f(1)=f(1)+f(1),解得f(1)=0,
令x=y=-1得f(1)=f(-1)+f(-1),解得f(-1)=0,
再令y=-1得,f(-x)=f(x)+f(-1)=f(x)
∴f(x)是偶函数…(4分)
(2)设任意的x1,x2∈(0,+∞)且x1<x2,则
>1,
当x>1时,f(x)>0,所以f(
)>0
∵f(x2)=f(
?x1)=f(
)+f(x1)
∴f(x2)?f(x1)=f(
)>0,∴f(x1)<f(x2),
∴f(x)在(0,+∞)上是增函数…(8分)
(3)由题意知,f(2)=1,
∴f(4)=f(2×2)=f(2)+f(2)=2f(8)=f(4×2)=f(4)+f(2)=3,
∴不等式f(x2-1)<3,转化为f(x2-1)<f(8),
由(1)(2)知,f(x)是偶函数且在(-∞,0)上单调递减,所以在(0,+∞)上单调递增,
∴
,解得-3<x<3且x≠±1,
∴原不等式的解集为(-3,-1)∪(-1,1)∪(1,3)…(12分)
由题意知,f(xy)=f(x)+f(y)
令x=y=1得f(1)=f(1)+f(1),解得f(1)=0,
令x=y=-1得f(1)=f(-1)+f(-1),解得f(-1)=0,
再令y=-1得,f(-x)=f(x)+f(-1)=f(x)
∴f(x)是偶函数…(4分)
(2)设任意的x1,x2∈(0,+∞)且x1<x2,则
x2 |
x1 |
当x>1时,f(x)>0,所以f(
x2 |
x1 |
∵f(x2)=f(
x2 |
x1 |
x2 |
x1 |
∴f(x2)?f(x1)=f(
x2 |
x1 |
∴f(x)在(0,+∞)上是增函数…(8分)
(3)由题意知,f(2)=1,
∴f(4)=f(2×2)=f(2)+f(2)=2f(8)=f(4×2)=f(4)+f(2)=3,
∴不等式f(x2-1)<3,转化为f(x2-1)<f(8),
由(1)(2)知,f(x)是偶函数且在(-∞,0)上单调递减,所以在(0,+∞)上单调递增,
∴
|
∴原不等式的解集为(-3,-1)∪(-1,1)∪(1,3)…(12分)
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