Question

某工厂生产一种产品，当生产数量至少为10吨，但不超过50吨时，每吨的成本y（万元/吨）与生产数量x（吨）

某工厂生产一种产品，当生产数量至少为10吨，但不超过50吨时，每吨的成本y（万元/吨）与生产数量x（吨）的函数关系式如图所示．（1）求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；（2）当生产这种产品的总成本为280万元时，求该产品的生产数量；（注：总成本=每吨的成本×生产数量）（3）当产品的生产数量为多少时，总成本最低．

Answer 1

（1）设y与x的函数关系式为y=kx+b（k≠0），由函数图象，得

10＝10k+b 6＝50k+b

，
解得：

k＝? 1 10 b＝11

y=-

1

10

x+11（10≤x≤50）；

（2）由题意，得
280=（-0.1x+11）x．
整理，得：x²-110x+2800=0．
解得：x₁=40，x₂=70，
∵10≤x≤50，
∴x=40．
当生产这种产品的总成本为280万元时，该产品的生产数量为40吨；

（3）设总成本为w，由题意，得
w=（-0.1x+11）x，
=-0.1x²-11x，
=-0.1（x-55）²+320.5
∴a=-0.1＜0，
∴当10＜x＜50时，w随x的增大而增大．
∴当x=10时，w_最小=118．
∴当产品的生产数量为10时，总成本最低为118万元．