Question

已知数列{an}满足a1=1，an+1=an1+an（n∈N+）（1）分别求a2，a3，a4的值．（2）猜想{an}的通项公式an，并

已知数列{an}满足a1=1，an+1=an1+an（n∈N+）（1）分别求a2，a3，a4的值．（2）猜想{an}的通项公式an，并用数学归纳法证明．

Answer 1

（1）a2＝

a1

1+a1

＝

1

2

，a3＝

a2

1+a2

＝

1 2

1+ 1 2

＝

1

3

，a4＝

a3

1+a3

＝

1 3

1+ 1 3

＝

1

4

…（3分）
（2）猜想an＝

1

n

(n∈N+)…（5分）
①当n=1时命题显然成立
②假设n=k（k∈N^*）命题成立，即ak＝

1

k

当n=k+1时，a_k+1=

ak

1+ak

=

1

k+1

…（7分）
∴n=k+1时命题成立
综合①②当n∈N^*时命题成立…（10分）