Question

在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是BC1的中点．F是底面ABCD的中心，（Ⅰ）求直线EF与平面ABCD所成角

在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是BC1的中点．F是底面ABCD的中心，（Ⅰ）求直线EF与平面ABCD所成角；（Ⅱ）求证：EF∥平面AB1D．

Answer 1

解答：（Ⅰ）解：以D为原点，建立空间直角坐标系D-xyz，
则F（1，1，0），E（1，2，1），

EF

=（0，-1，-1），
平面ABCD的法向量

n

=（0，0，1），
设直线EF与平面ABCD所成角为α，
则sinα=|cos＜

EF

，

n

＞|=|

?1

2

|=

2

2

，
∴直线EF与平面ABCD所成角为45°．
（Ⅱ）证明：A（2，0，0），B₁（2，2，2），D（0，0，0），

DA

=（2，0，0），

DB1

=（2，2，2），
设平面AB₁D的法向量

n

=（x，y，z），
则

n ? DA ＝2x＝0 n ? DB1 ＝2x+2y+2z＝0

，取y=1，得z=-1，
∴

n

＝(0，1，?1)，
∵

EF

?

n

=0-1+1=0，且EF不包含于平面AB₁D，
∴EF∥平面AB₁D．